Matematik ve Mühendislik Hesapları

Matematik ve

Mühendislik

Hesapları

Binom Dağılımı balıkçının tek bir balık yakaladığında, bu- — yakalanan balık alabalık ise xi—1, değilse nun alabalık olması olasılığıdır (p O veya | — xi—0 olsun vei değişkeni 1'den ne kadar bir. ir problemin örnek yardımıyla for- — değerini alabilir). Bu yüzden başka bir tür — değer alsın. B müle edilmesi: balık yakalanması olasılığı 1-p'dir. Burada xi rastgele değişkenleri, p paramet- P bir göldeki alabalıkların diğer- Bu rastgeleliği şu deneyle inceleyelim: tesine göre Bernoulli kuramına uygun olalerine oranını belirtsin. Bu yüzden p sayısı, Bir ağ ile gölden n tane balık tutulsun, eğer — rak dağılmışlardır.

Rastgele değişkende

N ye) i 1 n ve p parametrelerine göre bir binom dagözlenir. Bü formül balıkçının k veya daha az sayıda alabalık yakalayacağını göstermek için şöyle uygulanır:

K N Ni < $ J

Görüldüğü gibi n'nin büyük değerleri için bu hesap çok uzayacaktır. Bu yüzden toplam bir integral olarak

Xx ( BEP a

DCN=Y 2=

Bu formüle Gaus dağılımı veya normal dağilim fonksiyonu denir. Bu formülün şu özellikleri bulunmaktadır:

1-8(X) B(0) - dig VD

(tig 2)

= EXP(- )

X-NP

X'in standartlaştırılması rastgele değişkeni denir.

Şu formül de yeterince büyük bir n sayısı için geçerlidir.

ye ) “BUR

N*p*(1-p), 9'dan büyük bir değer aldığında n'nin yeterince büyük olduğu

) Şu durumlar özellikle ilgi çekicidir:

i ie.

kabul edilir. Bu durumda yaklaşık işlemler yapmak istatistiki olarak doğru sonuçlar verecektir. PÜX

Bu durumda (5) ve (6) formülleri birleştirilerek şu fonksiyon yazılabilir:

P(X ile.

DR) İZ

X 32) >1-0(Z) ; de Aynı şekilde:

Bu program sırasında incelene-

10 REM

11 REM * *
12 REM *
13 REM » DISTRIBUTTON *
14 REM « *

15 REM
SÖ PRINT 53280,0:POKE 53281,0
100 PRİNT
110
120 PRİNT:FRİNT:PRİNT
125 ÖR TWO-SİDED BOUNDRY”

129 PRİNT
120 INPUT" PRİNT
135 INPUT" SAMPLE
140
145 IF MZ<1 OR MZ>2 OR G>İ THEN 50
150
151
152
C=.33267ŘšÍ
PRINT

PRİNT“ BOUNDARY Ke";
INPUT
REM
REM CALCULATTON
REM

Z-(K-N*G—D) /SGR )
| 2) II DI
P-F
İF Z<0 THEN
PRİNT
550 PRİNTCHR$ (147) 3
T
400 ON MZ
410 20000
14990 REM
15000 REM
15010 REM
15100 İ<Z
15200
15250 GOSÜUB 16000:RETURN
15500 PRİNT" (
159400 0
FRİNT:FRİNT:PRİNT"STANDARDIZATION”
PRİNT" RANDOMİTY VARIABLE:
RETURN
END

()'teki integral şu fonksiyon ile sadeleştirilebilir:

ATI) (13) burada A1=0.4361836 A2=0.1201676 A3=0.937298 C*Z) C=0.33267 Z 0

D bir düzeltme katsayısıdır ve integral aralığını genişletir. (9) ve (10)'daki gibi tek sınırlı durumlarda program 1, (11) ve (12) gibi çift sınırlı durumlarda 2 seçeneği kullanır,

Örnek: 1. Göle geri dönersek: oranı 0.6 ve ağımızda 100 balık olacak.

a) Ağda en az 50 alabalık bulunması olasılığı nedir? Çözüm: Sınır tek taraflıdır, program birinci seçeneği kullanır. Örnek sayısı: N=100 olasılık: p=0.6 sınır: k=50 (bu durumda Z=1.9392) Program şu cevapları verir: P(X>=50) (en az 50 alabalık) P(X<50)=0.02625 (en fazla 50 alabalık) b) Ağda en az 55 en fazla 65 alabalık olması olasılığı nedir?

Çözüm: Sınır çift taraflıdır, ama 1-2*N*p=k olduğundan sınırlar simetriktir. Sınır: 55 (bu durumda Z=0.91856) Program şu cevapları verir: P(55<=X<=65)=P(X<65)-P(X<55)

2. Bir test: bir rulet mekanizmasının 0'a ayarlı olup olmadığının kontrolü. H0 hipotezi: 0 da diğer sayılarla aynı sıklıkta mı geliyor? H1 hipotezi: 0 diğer sayılardan daha mı sık geliyor? H0 hipotezi: P(0)=1/37=0.027027 ile aynı anlamdadır. H1 hipotezi: P(0)>1/37

N=3700 (ruletin 3700 kez döndürülmesi) defa örnekleme yapıldığında 0 sayısı 120 defadan fazla geliyorsa H1 hipotezi reddedilebilir. Program şu cevapları verir: P(X<=120)=0.97869 P(X>120)=0.2131 Rastgele deney tekrarından sonra 0 sayısı 121 defadan fazla gelirse H0'ın doğruluğu kabul edilebilir.